En comparant la somme partielle d'ordre \(n\) à la série harmonique $$H_n=\sum^n_{k=1}\frac1k$$
À une intégrale, montrer que \(H_n\) vérifie l'encadrement $$\ln(n+1)\leqslant H_n\leqslant1+\ln(n)$$

Poser la fonction
Soit \(f(x)=\frac1x\), \(f\) est donc une fonction positive et décroissante sur \(]0,+\infty[\)

Passer d'intégrale à somme d'intégrales
Alors $$\int^n_1 f(x)\,dx=\sum^{n-1}_{k=1}\left(\int^{k+1}_k f(x)\,dx\right)$$

Puisque \(f\) est décroissante, on a : $$f(k+1)=\int^{k+1}_kf(k+1)\,dx\leqslant\int^{k+1}_kf(x)\,dx\leqslant\int^{k+1}_kf(k)\,dx=f(k)\int^{k+1}_k\,dx=f(k)$$

$$\sum^{n-1}_{k=1}f(k+1)\leqslant\int^n_1f(x)\,dx\leqslant\sum^{n-1}_{k=1}f(k)$$

On a donc $$H_{n}-1\leqslant\int^n_1f(x)\,dx\leqslant H_{n-1}$$

Résolution de l'intégrale
Or, $$\int^n_1\frac1x\,dx=\left.\ln x\right|^n_1=\ln n$$

On a donc $$\left( H_n-1\leqslant\ln n\quad\text{ et }\quad H_n\leqslant1+\ln n\right)\implies H_{n-1}\leqslant\ln n\leqslant H_{n-1}$$

On a donc $$\ln(n+1)\leqslant H_n$$
L'inégalité est donc démontrée

Trouver un équivalent quand \(N\to+\infty\) de $$\sum_{n=1}^N\frac1n$$

Calculer des intégrales intermédiaires
On a : $$\begin{align}\int^{n+1}_n\frac1n\,dt&=\left[\frac tn\right]^{n+1}_n=\frac{n+1}{n}-1=\frac1n\\ \int^{n}_{n-1}\frac1n\,dt&=\left[\frac tn\right]^{n}_{n-1}=1-\frac{n-1}{n}=\frac1n\end{align}$$

Utiliser la positivité de l'intégrale pour majorer et minorer
On a donc : $$\int^{n+1}_n\frac1t\,dt\leqslant\int^{n+1}_n\frac1n\,dt=\frac1n=\int^n_{n-1}\frac1n\,dt\leqslant\int^n_{n-1}\frac1t\,dt$$

Sommer pour \(n\) allant de \(2\) à \(N\) et ajouter \(1\) (pour avoir le premier terme)
$$1+\int_2^{N+1}\frac1t\,dt\leqslant\sum^N_{n=1}\frac1n\leqslant\int^N_1\frac1t\,dt+1$$

Calculer les intégrales
$$1+\ln(N+1)-\ln(2)\leqslant\sum^N_{n=1}\frac1n\leqslant\ln(N)+1$$

Rapport minoré et majoré par \(1\) en \(+\infty\) \(\to\) équivalence

On a donc : $$\underbrace{\frac{1+\ln(N+1)-\ln(2)}{\ln(N)}}_{\longrightarrow1}\leqslant\frac{\sum^N_{n=1}}{\ln(N)}\leqslant\frac{\ln(N)+1}{\ln(N)}$$
Donc $$\sum^N_{n=1}\frac1n\underset{+\infty}\sim\ln(N)$$